Het belangrijkste en meest invloedrijke kunstwerk uit de 20^e eeuw is Gμν = (8πG/c⁴) Tμν. Deze weergave van de onbekende werkelijkheid wordt gevonden op truien en daken, in wetenschap en techniek, op land en in de ruimte. Overal waar tijd een rol speelt. Deze formule, die het resultaat is van de algemene relativiteitstheorie, wordt gedomineerd door het getal 8. Wat is de magische betekenis van dit getal?

Waarborgen dat het ook voor de wet van Newton blijft gelden

De algemene relativiteitstheorie van Einstein is het belangrijkste fundament van de moderne natuurkunde.  Deze theorie beschrijft hoe massa, energie en ruimtetijd met elkaar verweven zijn in ons dynamische universum. De meeste mensen zullen de relativiteitstheorie zien als een concept als de kromming van ruimtetijd en zwarte gaten zonder zich te realiseren dat onze navigatiesystemen niet zouden bestaan zonder deze theorie. De wiskundige formulering bevat enkele intrigerende constanten en factoren die een diepere betekenis hebben. Een van die opvallende getallen is het cijfer 8.

Om de rol van die 8 te begrijpen is het van belang om de veldvergelijkingen van Einstein te onderzoeken. In hun meest eenvoudige vorm luidt deze:

Gμν = (8πG/c⁴) Tμν

Hierin is:

• Gμν: de Einstein-tensor, een wiskundige uitdrukking die de kromming van ruimtetijd weergeeft;
• Tμν: de energie-momentumtensor, die de verdeling van massa, energie, druk en stroom in de ruimtetijd beschrijft;
• G: de gravitatieconstante (6.6743 × 10^-11);
• c: de lichtsnelheid in vacuüm;
• π: het getal pi, ongeveer 3,14159;
• Het cijfer 8: de factor die centraal staat in deze uitleg.

Consistentie met de klassieke zwaartekrachtwet van Newton

De factor 8 verscheen niet willekeurig in de vergelijkingen, maar volgt uit de wiskundige structuur van ruimtetijd en de eisen van consistentie met de klassieke zwaartekrachtwet van Newton. Einstein wilde dat zijn veldvergelijkingen zouden passen in de wetten van Newton bij zwakke zwaartekrachtvelden en lage snelheden. De factor 8 wordt, samen met pi en andere constanten, gebruikt om de juiste schaal en de verhouding tussen de ruimtetijdkromming en energie/massa te waarborgen.

Het Einstein-Hilbert actieprincipe

Einstein maakte met deze formule een zogenaamde veldvergelijking. Dat is een formule waarmee de ruimte beschreven wordt, waarin in dit geval ook de tijd een rol speelt. Dat is het veld.

Deze veldvergelijkingen komen uit het zogenaamde ‘Einstein-Hilbert’ actieprincipe. Dit is een fundamenteel principe uit de theoretische natuurkunde waarmee de dynamica van ruimtetijd kan worden afgeleid. Voor meer informatie over de ontdekking daarvan lees het De ontdekking van de ‘algemene relativiteitsleer’ van Einstein verhaal. Bij de variatie van deze actie ontstaat een vergelijking waarbij een factor 2, pi en enkele constanten in het spel zijn. Als deze allemaal worden gecombineerd en vergeleken met Newtons zwaartekrachtwet (waarbij de gravitationele potentiaal Φ centraal staat), blijkt dat de consistente overgang naar Newtoniaanse mechanica vereist dat de factor 8πG/c⁴ gebruikt wordt.

De wijdere betekenis van het getal 8

Het getal 8 is onderdeel van een grotere wiskundige structuur. De ruimtetijd in de algemene relativiteitstheorie kent vier dimensies. Dat zijn drie ruimtelijk en een tijd dimensie. In de veldvergelijkingen worden tensors gebruikt, wiskundige objecten die over deze vier dimensies opereren. De factor 8 zorgt ervoor dat bij het samen nemen van de verschillende componenten van de tensors, de juiste schaal ontstaat om de kromming van de ruimtetijd direct aan de materie- en energiedichtheid te koppelen.

Veldvergelijking fundamenteel wiskundig aanpassen aan de werkelijkheid

In de astronomie is het getal 8 een essentiële verbinding tussen theorie en praktijk. Dankzij deze constante kunnen berekeningen worden gemaakt over bijvoorbeeld de ruimtekromming rond een ster, het uitdijden van het heelal en het gedrag van zwarte gaten. Zonder de 8 zou de verhouding tussen massa/energie en de ruimtetijdkromming niet kloppen met wat in het heelal wordt gezien. Zonder deze 8 zouden deze veldvergelijking niet de waarnemingen kunnen verklaren. Een sterk voorbeeld is de directe test aan de zwaartekrachtgolven, waarbij door de veldvergelijkingen, en dus ook van de rol 8,  precies voorspelt kan worden  hoe deze golven zich door de ruimtetijd verspreiden.

Wanneer wetenschappers simulaties maken van het universum, van de beweging van sterren tot het ontstaan van grote structuren zoals melkwegclusters, is het essentieel dat de juiste factoren in de vergelijkingen worden gebruikt. De 8 in de veldvergelijkingen zorgt ervoor dat de uitkomsten van deze simulaties overeen komen met de werkelijkheid die telescopen en detectors tonen.

Samenvattend is de betekenis van de 8 in de algemene relativiteitstheorie niet mystiek, maar fundamenteel wiskundig. Het getal is het resultaat van een zorgvuldige afleiding, bedoeld om de juiste schaal en eenheid te geven aan de relatie tussen ruimtetijdkromming en materie/energie. Dankzij deze ogenschijnlijk simpele factor krijgen natuurkundigen en astronomen een krachtig instrument in handen waarmee de diepste geheimen van het universum kunnen worden onderzocht. Zo is de 8, samen met pi, G en c, niet zomaar een getal, maar een brug tussen de abstracte wereld van de wiskunde en de tastbare werkelijkheid van het heelal.

Piet Vogel