De ontdekking van de ‘algemene relativiteitsleer’ van Einstein

Einstein werd om een groot aantal redenen een legendarische figuur in de wetenschap. Denk daarbij maar eens aan E = mc² waar je zelfs T-shirts van hebt, maar ook het foto-elektrisch effect en het idee dat de lichtsnelheid voor iedereen een constante is. Zijn theorie over de zwaartekracht (de algemene relativiteitsleer), hoort daar zeker bij.

In 1905 had Einstein de speciale relativiteitsleer wereldkundig gemaakt. Vanaf dat moment kan je een vertaalslag maken tussen hoe de ene waarnemer iets ziet en ervaart in het universum en een andere waarnemer datzelfde ziet, maar anders ervaart. Dat kan gebeuren als beide waarnemers een geheel andere snelheid hebben ten opzichte van het object van waarneming. De ene waarnemer gaat bijvoorbeeld met een kwart van de lichtsnelheid en de andere waarnemer staat stil ten opzichte van het object van waarneming. Zolang die beweging dagelijkse snelheden betreft is er geen probleem, maar als de onderlinge snelheid in de orde van de lichtsnelheid is, dan heb je hier zeker rekening mee te houden.

In 1907 vroeg Einstein zich af hoe je deze zogenaamde speciale relativiteitsleer, (waarbij er geen versnellingen zijn), kunt toepassen voor waarnemers die met een andere versnelling naar een hemelobject reizen, of wanneer er een grote massa in de buurt is, om maar niet te spreken van een zwart gat. Deze gedachte zou de basis worden voor de algemene relativiteitsleer van Einstein die hij in 1915 wereldkundig maakte. De wiskundige Emma Noether heeft sturing gegeven voor deze theoretische ontdekking die tot de dag van vandaag de beste theorie is om bijvoorbeeld de expansie van het heelal, zwarte gaten en de bijzondere beweging van Mercurius om de Zon te begrijpen.

Het statische en lege universum

Een statisch universum bestaat uit een universum dat niet groter of kleiner wordt. Het is er en verandert daarin niet. Kortom er was geen oerknal.

Wat gebeurt er dan met een potlood of een steen in zo’n statisch en tegelijk leeg universum als je deze met een constante snelheid de ruimte in gooit? Je doet dat voor het gemak ver buiten de aarde, de zon en welk ander zwaartekrachtsveld. Die zijn allemaal afwezig. Gaat dat potlood altijd maar rechtdoor met een constante snelheid? Remt het potlood? Versnelt het potlood? Kromt de baan van het potlood? Gaat het potlood naar de ‘rand’ van het heelal?

De eerste wet van Newton zegt:

Een voorwerp in rust blijft in rust, en een voorwerp in beweging blijft in beweging met een constante snelheid en in een rechte lijn, tenzij er een onevenwichtige kracht op werkt.

Wat er in werkelijkheid gebeurt is dat het potlood zal afremmen en uiteindelijk tot stilstand zal komen. Waar blijft dan alle bewegingsenergie (E_kin = ½mv²) die er in het potlood zat? Energie blijft toch behouden? Energie kan toch niet verloren gaan? Je kunt ook zeggen: Energie is toch conservatief?

De symmetrie van een statisch en leeg universum

Symmetrieën in de geometrie

Symmetrieën zijn transformaties die een object onveranderd laten. Dat kan zijn een spiegeling of een draaiing of een verschuiving van het object. Hier een voorbeeld om dat duidelijk te maken voor een gelijkbenige driehoek.

Er zijn drie hoeken van elk 60 graden.
Deze driehoek heeft drie assen van symmetrie. Als je namelijk dit object 120 graden, of 240 graden of 360 graden draait, dan zie je precies dezelfde driehoek voor je liggen. Je kunt ook de andere kant op draaien. Dan gebeurt hetzelfde.

De natuurwetten gelden overal

In een statisch en leeg universum maakt het niet uit waar je bent. Alles ziet er hetzelfde uit om je heen. Als je naar links kijkt, ziet dit universum er hetzelfde uit als aan de rechterkant van je, of boven, onder en voor achter je. Het maakt allemaal niets uit. Als je op een andere plek in het universum bent, dan verandert er eigenlijk niets.

Einstein ontdekte dat de natuurwetten altijd hetzelfde zijn. Dat heeft niet met het referentieframe (ook wel referentiestelsel) te maken waaraan die natuurwetten opgehangen zijn. Het maakt niet uit waar je bent en ook niet welke snelheid je hebt. Je kunt een gebeurtenis in het heelal bekijken vanaf de aarde. Je kunt dezelfde gebeurtenis ook bekijken als je in de buurt van een ster ver weg bent. Dit was de basis voor de speciale relativiteitsleer van Einstein.

Ruimtesymmetrie

Gooi bijvoorbeeld eens een bal van je af. Die bal is na verloop van tijd elders, maar de natuurwetten zijn op die plek hetzelfde als waar je was (= speciale relativiteitsleer van Einstein). Als je het universum verschuift naar die plaats waar de bal is dan ben je zelfs terug in de oorspronkelijke situatie van voordat je de bal weggooide. Als je dit gedachtenexperiment blijft doen dan ontdek je dat de snelheid van die bal in een leeg universum eeuwig hetzelfde blijft. Een leeg universum is translatie symmetrisch:

De translatiesymmetrie van een statisch en leeg universum betekent het behoud van impuls. Translatie betekent: op een andere plaats in het universum.

De snelheid (beter gezegd de impuls ‘p’) blijft constant. Er is geen variatie (dp/dt = 0).

Rotatiesymmetrie

Draai bijvoorbeeld in de statische en lege ruimte dat potlood of een ijzeren pijp om zijn eigen as. Die pijp is na verloop van tijd gedraaid onder een bepaalde hoek, maar de natuurwetten blijven hetzelfde op die plek. Als je het universum meedraait met diezelfde draaiingshoek dan ben je zelfs terug in de oorspronkelijke situatie voordat je de pijp ronddraaide. Als je dit gedachtenexperiment blijft doen dan ontdek je dat de rotatiesnelheid van die pijp in een statisch en leeg universum eeuwig hetzelfde blijft. Een statisch en leeg universum is rotatie symmetrisch:

De rotatiesymmetrie van een statisch en leeg universum betekent het behoud van hoekimpuls.

De hoeksnelheid (beter gezegd de hoekimpuls ‘L’) blijft constant. Er is geen variatie (dL/dt = 0).

Tijdsymmetrie

Elk experiment dat je nu uitvoert, kan je ook morgen (na 24 uur) uitvoeren. De natuurwetten blijven na een etmaal hetzelfde. Die veranderen niet. Tijdsbegrip is niets meer dan een afspraak die we onderling met elkaar maken. Voor het universum en de wetenschap is het niet van belang of het 3 uur is of bijvoorbeeld 7 uur, wat voor mensen trouwens wel heel belangrijk en tegelijk ook weer een mysterie). Als je dit gedachtenexperiment blijft doen dan ontdek je dat de energie die er in een experiment aanwezig is niet verloren kan gaan in een leeg universum. Het blijft eeuwig constant. Een leeg universum is tijdsymmetrisch en dat betekent:

De tijdsymmetrie van een statisch en leeg universum betekent het behoud van de totale energie (= de bewegingsenergie (E_kin) + de potentiële energie (E_pot)).

De totale energie blijft constant. Er is geen variatie (dE/dt = 0).

Niemand wist waar de behoudswetten in de natuur vandaan komen. Het was de Duitse wiskundige Emmy Noether die aantoonde dat symmetrieën in dit statische en lege universum de oorzaak zijn dat deze behoudsnatuurwetten bestaan. Zij bewees dat elke symmetrie die je ontdekt, een gevolg heeft voor een natuurkundige behoudswet. Zij werkte samen met Einstein om uiteindelijk de juiste algemene relativiteitsleer op te kunnen stellen.

De symmetrie van een niet statisch universum

De praktijk is dat het universum niet statisch en leeg is. In ons dagelijks leven heeft de mens niet te maken met een uitdijend heelal, en de zwaartekracht van de aarde is constant. De zwaartekracht van de maan, de planeten en de zon zijn niet echt belangrijk. We kunnen alleen eb en vloed. De zwaartekracht van de aarde is dus zo goed als constant. Dat geldt niet in het universum. Het universum is niet leeg. Overal in het universum is bewegende en zelfs versnellende materie aanwezig, en ook energie in de vorm van licht (= electromagnetische straling). Het universum is ook niet statisch. Het universum dijt uit. Naarmate je met je telescoop verder wegkijkt, worden de snelheden van sterrenstelsels steeds groter. Waar is die wet van impulsbehoud gebleven? Het universum is dus ook niet tijdsymmetrisch. 13 miljard jaar geleden was het universum heel anders. Het was kleiner. Alle hemelobjecten vliegen destijds met bijna de lichtsnelheid uit elkaar. Dat is niet te vergelijken met tegenwoordig. Een niet statisch universum is niet tijdsymmetrisch:

Het gebrek aan tijdsymmetrie in het universum door de miljarden jaren heen betekent dat er geen behoud van de totale energie bestaat (E_kin + E_{pot ≠}constant).

De totale energie verandert door de miljarden jaren heen. Het verandert (dE/dt ≠ 0).

Er is geen reden meer om aan te nemen dat energie constant is, want die symmetrie bestaat niet.

Denk eens aan zichtbaar licht (= foton) dat snel na het begin van het universum uitgezonden was en dat in het nu in je ogen komt. Dat komt niet in onze telescopen als zichtbaar licht maar als microgolfstraling. Het verloor 99.9% van zijn energie (E = h x f). Waar is die energie gebleven? Het is nergens gebleven, want er bestaat geen wet van behoud van energie. De energie verdwijnt gewoon. Het bestaat ineens niet meer. Het verdwijnt ook niet naar buiten het universum.

En dit is precies wat er gebeurt als je dat potlood weggooit. Doordat de energie afneemt, zal het potlood uiteindelijk tot stilstand komen. Er is bestaat geen tijd en translatiesymmetrie. Er is geen inbreuk op de bestaande natuurwetten. Deze natuurwetten gelden alleen in onze dagelijkse belevingswereld van alle dag.

Algemene covariantie symmetrie

In de praktijk is het referentiesysteem (x, y, z, t) gekromd. Er zitten ‘putten’ op de plekken waar massa is. Bij de aarde is zo’n put en bij de zon is een nog diepere afwijking op een standaard referentiesysteem aanwezig. Je kunt het universum niet meer bewegen (transformeren), of ronddraaien of veranderen in de tijd zonder dat dit gevolgen heeft. Alle symmetrie en dus al die behoudswetten zijn verdwenen.

Emmy Noether ontdekte voor Einstein dat er één symmetrie overblijft: De natuurwetten blijven hetzelfde, waar je ook bent en met welke snelheid of versnelling je ook gaat. Ben je ergens anders na verloop van tijd en ben je misschien ook gedraaid ten opzichte van de oorspronkelijke situatie, dan gelden daar nog steeds dezelfde natuurwetten als in de oorspronkelijke situatie. Een niet statisch en gevuld universum is covariantie symmetrisch:

De covariantiesymmetrie van het universum in het algemeen betekent het behoud van alle natuurwetten, wat die natuurwetten ook mogen zijn.

Lokale symmetrie

In elk klein gebied kan je altijd het referentiestelsel veranderen. Als dat niet gaat, dan maak je dat gebied gewoon eerst kleiner. Je kunt dan de ruimte weer transformeren. Als het maar heel lokaal bij jou in de buurt blijft. Dit zijn lokale symmetrieën. Het universum in het algemeen is lokaal symmetrisch:

De lokale symmetrie van het universum in het algemeen betekent dat alle genoemde behoudswetten toch wel geldig zijn. Dit is de eerste stelling van Noether.

Daar dit alleen lokaal klopt, krijg je (net) geen correcte behoudswetten meer. Er is bovenop de bestaande wetmatigheden een continuïteitsvergelijking nodig om een niet-lokale gebeurtenis te beschrijven. Dit is de tweede stelling van Noether.

De geboorte van de algemene relativiteitsleer

Een versnelling is als een zwaartekracht

Toen Einstein aan het dagdromen was in zijn kantoor, kwam hij, naar eigen zeggen, op de beste gedachte van zijn leven:

Als een glazenwasser noodlottig in een vrije val van de flat valt, dan voelt hij niet zijn eigen gewicht. Hij is gewichtloos, en alles wat meevalt, beweegt met hem mee. Er gebeurt eigenlijk hetzelfde als wanneer hij in de ruimte zweeft, zonder dat er een zwaartekracht in de buurt is.

Als je aan de zwaartekracht toegeeft, dan is er geen zwaartekracht.

Er moet dus een verband zijn tussen een versnelde beweging, en het effect, (de actie), van de zwaartekracht.

Einstein noemde dit het gelijkwaardigheidsprincipe.

Als je in een raket temidden van de ruimte versneld met bijna 10 ^km/_m², dan voel je hetzelfde als wanneer je stil op de aarde staat. De impact van deze gedachte is groot, want het is voldoende om versnellingen als extraatje in de speciale relativiteitsleer op te nemen. Het is dan toch tegelijk duidelijk hoe zwaartekracht werkt.

Pijpdelen met stromend water

Een pijp met stromend water is een mooi voorbeeld om te begrijpen wat een continuïteitsvergelijking is. In de pijp bstaat er een relatie tussen de hoeveelheid water die de pijp uitstroomt minus de hoeveelheid die de pijp instroomt, en het aantal liter dat op dat moment in de pijp aanwezig is.

Dit klopt alleen als je een heel klein stukje van de pijplengte neemt. De totale hoeveelheid aan water blijft behouden. Er komt niets bij en het verdwijnt niet. Als je de hele pijp in beschouwing neemt, dan is het water altijd een tijdje onderweg en is er vertraging op de lijn voordat dit effect optreedt.

Dat klopt ook alleen als je een klein tijdsinterval kiest want anders weet je niet wanneer dit geldig is als je bijvoorbeeld een minuut gaat meten.

Onder deze voorwaarden is dit de continuïteitsvergelijking voor een klein pijpsegment:

Het verschil aan aantal liters na een klein tijdsinterval is gelijk aan het water wat eruit en erin gaat.

Als je alle kleine pijpdelen aan elkaar vastzet, dan moet je rekening houden met de eventuele kromming van de pijp. Als een volgend pijpdeel een klein beetje scheef op de vorige staat, dan zit er een barst tussen beide pijpdelen. Daar kan water uit lekken.

In dit gedachtenvoorbeeld wordt verondersteld dat water niet samendrukbaar is. Het zou bijvoorbeeld niet werken als het een gas zou zijn in plaats van water.

Ruimtetijd fragmenten met stromende energie

In het geval van de algemene relativiteitsleer vond Noether een vergelijkbare continuïteitsvergelijking. Het stromend water is in dit geval energie die bij wijze van spreke stroomt. Er komt energie bij en er gaat tegelijk ook energie weg. En waarin gaat dat dan bij of weg? In de ruimte is dat niet de één dimensionale pijp. De ruimte heeft namelijk drie dimensies, en zelfs een tijdsdimensie volgens de speciale relativiteitsleer uit 1905. De pijp wordt vervangen door een vier dimensionaal ruimtetijd fragment.

Het beschrijven van natuurwetten die zich in vier dimensies afspelen is geen enkel probleem. Dat doe je met tensoren en de bijbehorende tensorrekening. De tensorrekening komt verder niet ter sprake.

Er is ook nu een relatie tussen de hoeveelheid energie die het vier dimensionale (x, y, z, t) fragment uitstroomt minus de hoeveelheid die het fragment instroomt, en de totale energie (in Joule) die op dat moment in het fragment aanwezig is.

Dit klopt alleen als je een heel klein stukje ruimtetijd neemt. Ofwel de ruimtelengte is klein en de tijdsduur is klein. De totale energie blijft behouden. Er komt geen energie bij en er gaat niets af.

Dit is continuïteitsvergelijking voor een ruimtetijd fragment:

Het verschil aan energie (in Joule) na een klein ruimtetijdsinterval is gelijk aan de energie die eruit en erin gaat.

Als je alle kleine fragmenten aan elkaar vastzet, dan moet je rekening houden met de eventuele kromming van het ruimtetijd fragment. Als een volgend ruimtetijd fragment een klein beetje scheef op de vorige staat, dan zit er een barst tussen beide ruimtetijd fragmenten. Daar kan energie uit lekken.

In de speciale relativiteitsleer zitten alle ruimtetijd fragmenten netjes recht op elkaar. Het geheel is onverstoorbaar. In de algemene relativiteitsleer heb je te maken met een nieuwe vergelijking om voor het weglekken te corrigeren:

De energie die je verliest in een bepaald ruimtetijd fragment vind je terug in de kromming van de ruimtetijd, ook wel het zwaartekrachtsveld. Deze kromming bestaat uit twee termen in deze natuurwet.

Het foton dat na het begin van het universum ontstond heeft een 12 miljard jaren durende reis achter de rug waarbij de meeste energie (E = h x f) verdwenen is geraakt in de kromming van de ruimtetijd, ondanks dat het foton met de lichtsnelheid naar onze telescopen kwam. Toch is de reisduur meer dan 40 miljard jaar geweest doordat het universum tijdens deze reis steeds maar groter bleef worden. Die energie zit nu in het zwaartekrachtsveld van het steeds groter wordende universum. Die energie zit ook in de actie van het zwaartekrachtsveld zelf, want de ruimtetijd zelf verandert ook.

De stellingen van Noether

Albert Einstein ging er bedoeld of onbedoeld met de eer vandoor toen hij de algemene relativiteitsleer wereldkundig maakte. Emmy Noether was de creatieve wiskundige en genie die het tot stand komen van dit werk sturing heeft gegeven. Haar wiskundige stellingen zijn ook de bron geweest als basis voor de kernfysica die koers hebben bepaald voor het vinden van quarks en het Higgs boson. Het leerde ons waar de krachten van de natuur vandaan komen. En het hielp zelfs om een verklaring te vinden voor het begin van alle massa in het universum.

De stellingen van Noether ondersteunden ook de geboorte van de kwantummechanica. Elektronen bijvoorbeeld hebben een fase, ook wel een soort pijl in een bepaalde richting. Die richting is niet van belang zolang alle elektronen maar dezelfde richting aanwijzen, zodat het effect op de elektrische lading van het totaal behouden blijft. Deze symmetrie was de bron voor de natuurwet voor behoud van elektrische lading.

Emmy Noether’s stellingen hielpen ook om koers te bepalen om een theorie voor alles te vinden.